Factorización: Desarrollo de un Trinomio cuadrado perfecto

¿ Como identificar un trinomio cuadrado perfecto?

Cuando factorizamos un trinomio, siempre podemos usar las técnicas que se conocen habitualmente. Sin embargo, llegar a reconocer un trinomio cuadrado perfecto puede ser bastante útil. El primer y último términos del trinomio cuadrado perfecto, son cuadrados perfectos (4, 9, 16, 25, 36, ...) y el término medio es dos veces las raíces cuadradas del primer y último término. En el que podemos encontrar dos casos:

a²+2ab+b² = (a+b)²

a²-2ab+b² = (a-b)²


Suena y parece difícil, pero en realidad es un atajo. Solo necesitamos usar las raíces cuadradas del primer y el último término, revisa el término medio a través de la multiplicación y usar el signo del término medio.

Ejemplo 1

Factorizar el trinomio x²-6x+9.

Solución:

Inicialmente vemos que el primer y el último término de nuestro trinomio son cuadrados perfectos:

x²= x·x y por otro lado 9 = 3·3 , por tanto a = x y b = 3.

Verificando ahora el término del medio, el cual debe cumplir que sea igual a 2ab, para que se tenga un trinomio cuadrado perfecto :

2(x)(3) = 6x , el cual es igual a nuestro termino medio.

Una vez que hemos detectado que los extremos de nuestro trinomio son cuadrados perfectos y nuestro término medio es igual a 2ab. Lo único que nos faltaría comprobar es el signo de este término para llegar a nuestra factorización. Como vemos el signo del término medio es (-).

Como vemos el término medio coincide con el valor 2(a)(b) , por tanto tenemos un trinomio cuadrado perfecto. Ya solo nos resta expresar la solución, pero para ello debemos recordar la fórmula de un trinomio cuadrado perfecto con su término medio negativo:

a²-2ab+b²= (a-b)² , Por tanto nos queda:


x²-6x+9 = (x-3)²


¿ Como comprobamos que nuestra respuesta es correcta?

A la hora de llegar a nuestro factorización , podemos llegar a comprobar la respuesta de la siguiente manera:

(x-3)² = (x-3)(x-3) ÞEn este paso separamos los factores.


(x-3)² = x²-3x-3x+9 ÞLuego multiplicamos los términos uno a uno.

(x-3)²= x²-6x+9 ÞFinalmente sumamos los factores comunes y logramos comprobar que el trinomio es efectivamente el que teníamos inicialmente por tanto nuestra respuesta es correcta.

Ejemplo 2

Factorizar el siguiente trinomio: 49a²+70ab+25b².

Solución:

Como vemos el primer y ultimo término son cuadrados perfectos:

a² = 49a² = y por otro lado b² = 25b²

Esto quiere decir que nuestra a = 7a y nuestra b = 5b

Ahora procedemos a revisar el término medio , para ver si satisface la ecuación 2ab.

2(7a)(5b) = 70ab

Como vemos el término medio coincide con el valor 2(a)(b) , por tanto tenemos un trinomio cuadrado perfecto. Ya solo nos resta expresar la solución, pero para ello debemos recordar la formula de un trinomio cuadrado perfecto:

a²+2ab+b²= (a+b)²

Por tanto nos quedaría:

49a²+70ab+25b² = (7a+5b)²

Ejemplo 3

Factorizar el siguiente trinomio : z²+12z-36.

Solución:

Inicialmente vemos que el primer término y el último término son cuadrados perfectos.

a²= z² y por otro lado b= 6. Por ende uno llegaría a creer que se enfrenta ante un trinomio cuadrado perfecto , pero es importante revisar la formula:

a²±2ab+b²= (a±b)²


Por tal motivo vemos que la b² no debe tener a su lado el signo (-) , por ende no estamos ante un trinomio cuadrado perfecto lo cual indica que debemos optar por otro método para el caso de un trinomio de la forma x²+bx-b². El cual puede desarrollarse por la formula cuadrática:

Ejemplo 4

Factorizar el siguiente trinomio x⁴+2x²+1.

Solución:

En este caso a pesar de que tenemos un trinomio de grado 4, también podemos comprobar si se trata de un trinomio cuadrado perfecto sin importar el grado de nuestro trinomio. Ya que nuestra fórmula general aplica para cualquier grado.

Igual que los ejemplos anteriores procedemos a encontrar los cuadrados perfectos de los extremos, en este caso serían:

a² → x ⁴ , en donde a= x².
b² → 1, en dodne b=1.

Luego comprobamos si el término medio cumple el último requisito que es 2(a)(b), para que sea un trinomio cuadrado perfecto.

2(a)(b) = 2(x)(1) = 2x

Como vemos, efectivamente el término medio coincide con la fórmula para el mismo, por tal motivo tenemos un trinomio cuadrado perfecto.

La factorización de nuestro trinomio quedaría:

x⁴+2x²+1 = (x²+1)x²


Finalmente si queremos comprobar la solución , efectuamos los pasos realizados anteriormente multiplicando término a término.

Un abrazo amigos de latinoamerica de Mastertareas Colombia, nos veremos mas adelante con mas temas interesantes de Matemáticas .Espero que le sea de gran ayuda nuestro tutorial.